선형대수학
선형시스템 해석방법
Row Picture
내적이용(Dot Product)
교점을 찾는 것이 목표
Column Picture
선형결합(Linear Combination)이용
determined
해가 있다
Unique Solution
크래머 공식
Determinant 이용
가우스 소거법
x = A^{-1}b
underdetermined
해가 많다
Complete Solution 도출
RREF 활용
X = X_n + X_p
해가 많으므로 *백터 스페이스*로 표현
해가 없다
overdetermined
해가 없음
Best Solution 도출
Least Square
min||Ax-b||^2
투영
A^T(A \hat{x}-b) = 0
\hat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb
p = Pb = A(A^TA)^{-1}A^Tb
백터(A)에 상수(x)를 곱해서 벡터(b)를 만족시키는것 : Ax =b
문제 풀이 방법
가우스 소거법
1. 행사다리꼴로 변경
2. 후방대입
가우스 조르단 소거법
1. 행사다리꼴로 변경
2. 기양행 사다리꼴로 변경
벡터
정의
방향과 크기를 가진 값
백터의 크기
피타고라스 정리로 구함
내적
정의
|u||v|cos
dot product, 스칼라곱, 유클리드 곱 이라고도 함
의의
코사인값을 알면 두 백터의 각을 알수 있음
수직 or 평행 or ...
외적
정의
3차원 공간에서만 정의 가능
Cross product
방향각
정의
New node
종류
단위벡터
영백터
직교백터
의의
Linear combination을 쉽게 할수 있다
x= \sum_{i=1}^{n} c_i Vi
방법
그람슈미츠
연산
합
차
스카라곱
활용
공간
(전체) 벡터 공간
행렬백터공간
(전체)행렬공간
부분 행렬 공간
부분 벡터 공간
Column space
Null space
Row space
Left null space
함수(Hilbert) 공간
행렬
행렬연산
행렬곱
방법
Row x column 방법
Column-wise방법
Row-wise 방법
column x row 방법
Block Multiplication 방법
성질
곱셈의 결합법칙
분배법칙
행렬합
정의 : A+B = [a_ig + b_ij]mxn
스칼라배
예: 2A
행렬종류
역행렬
정의
속성
계산법
2x2계산법
[d -b -c a]/ad-bc
3x3계산법
Gauss-Jordan Method
치환행렬
전치행렬
대칭행렬
단위행렬
대각행렬
삼각행렬
성질
1.하(상) 삼각행렬들의 곱은 하(상) 삼각행렬이다
2. 가역행렬인 하(상) 감각행렬의 역행렬은 하(상) 삼각행렬이다.
종류
상삼각행렬
하삼각행렬
수반행렬
정의
행렬A와 크기가 같고, 여인자를 성분으로 갖는 행렬
표현
adj(A)
성질
특징
역행렬 구할때 사용
A^{-1} = \frac{adj(A)}{det(A)}
Determiniant
정의
행렬을 하나의 값으로 표현
표현
det(A)
|A|
성질
중요 3 성질
1. det I = 1
2. Row 교환시 sign change
3. det A depend on 1st row
확장 성질
전치행렬의 행렬식
두 행을 교환한 행렬식
스칼라배의 행렬식
계산법
사루스 방법
여인자 전개
pivot을 곱해서
활용
주요
A의 역행렬 구하기
Ax = b 풀기
cramer's 룰 이용
기타
공간 도형의 방정식
보간 다항식
정의
평면상에서 어느 특정한 점들을 지나는 다항식을 구하는 방법
이차 곡선
원의 방정식
직선의 방정식